Von Frege bis Gödel – die Frage nach den Grundlagen der Mathematik

Im Falle der Mathematik hat sich im Laufe des 20. Jhs. mengentheoretisches Vokabular als universell verwendbares begriffliches Instrumentarium erwiesen. In der Vorlesung wird exemplarisch gezeigt (unter Bezugnahme auf Überlegungen G. Freges, B. Russells, A. N. Whiteheads und J. v. Neumanns), wie sich dieses Instrumentarium bei der Definition der natürlichen Zahlen bewährt hat – bei der Definition mathematischer Gegenstände also, die lange Zeit als derart elementar galten, dass man sich die Möglichkeit einer expliziten Definition unter Rückgriff auf noch elementarere Objekte kaum vorstellen konnte.

Der Erfolg des mengentheoretischen Begriffssystems legt die Frage nahe, ob man auch einen größeren Teil der mathematischen Theoreme, womöglich bis hin zu deren gesamtem Bestand, letztlich aus einer geeigneten Zusammenstellung mengentheoretischer Axiome ableiten kann (oder aus einem anderen System von vergleichbarer Stärke). Auf diese Frage hat K. Gödel mit der Formulierung und dem Beweis des später so genannten Ersten Unvollständigkeitssatzes, seiner Habilitationsleistung von 1931, eine der Tendenz nach verneinende Antwort gegeben.

H. Hahn hat über Gödels Leistung in seinem Habilitationsgutachten die Einschätzung geäußert, dass sie »ihren Platz in der Geschichte der Mathematik einnehmen« werde. Die Vorlesung wird in ihrem zweiten Teil die Idee des gödelschen Beweises erläutern und durch die Erklärung eines exemplarischen Details einen genaueren Eindruck zu vermitteln versuchen. Bei diesem Detail handelt es sich um eine Anwendung der gödelschen Beta-Funktion (zu deren Konstruktion Gödel ein Stück aus der elementaren Zahlentheorie, den »Chinesischen Restsatz«, benutzte).