Die Riemannsche Vermutung: Ein kurzer Ausflug in die Welt dieses Millennium-Problems

In seiner 8-seitigen Arbeit "über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" (erschienen in den "Monatsberichten der Berliner Akademie" im November 1859) untersucht Riemann diese Funktion, um eine "explizite" Formel für die Primzahlfunktion anzugeben. Die Primzahlfunktion zählt für eine gegebene reelle Zahl die Anzahl der Primzahlen unterhalb dieser Zahl, ist also eine stückweise konstante Funktion auf den reellen Zahlen, die insbesondere die Verteilung der Primzahlen im Band der natürlichen Zahlen beschreibt. Auf Grund von rein empirischen Betrachtungen beschrieben schon Gauß und Legendre (wie später durch Hadamard und unabhängig davon von Poussin gezeigt wurde) den richtigen asymptotischen Verlauf dieser Funktion (die Primzahlfunktion ist asymptotisch gleich dem Integrallogarithmus Li(x)). Riemanns explizite Formel beschreibt nun insbesondere die Abweichung der Primzahlfunktion von Li(x). Die Abweichung ist bis auf eine Konstante durch eine Funktionenreihe gegeben, deren Summanden durch die Nullstellen der Zetafunktion innerhalb des sogenannten "kritischen Streifens" (d.h. innerhalb des Bandes, das durch die y-Achse und die Parallele durch die 1 begrenzt ist) indiziert und beeinflusst sind.
Aussagen über die Lage dieser Nullstellen implizieren insbesondere Aussagen über den oben angesprochenen Fehler. Die Riemann-Vermutung besagt nun, dass all diese Nullstellen auf der Parallelen zur y-Achse durch 1/2 liegen (diese Vermutung spricht Riemann in obiger Arbeit aus). Ihr Beweis ergäbe eine sehr viel schärfere Abschätzung des Fehlers bei der Approximation der Primzahlfunktion durch Li(x) als die bisher bekannten.
Ich gehe in dem Vortrag zunächst auf Riemanns Epoche machende Arbeit ein und führe vor, wie er zur expliziten Formel gelangt. Außerdem sage ich was zur Evidenz der Vermutung und kurz was zu älteren und neueren Beweisansätzen.
Insbesondere erzähle ich noch, wie nach dem Vorbild der Theorie um die
Riemann-Vermutung verallgemeinert und übertragen wurde.